Conjunto dos
números naturais e inteiros
Ao longo da história podemos observar o
avanço da Matemática, a necessidade de contar e relacionar quantidades fez com
que o homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações.
Diversos sistemas de numeração foram criados em todo o mundo no decorrer dos
tempos, sendo os mais antigos originários do Egito, Suméria e Babilônia.
Podemos também citar outros sistemas de numeração bastante conhecidos, como o
Chinês, os Maias, o Grego, o Romano, o Indiano e o Arábico.
O homem criava situações interessantes na contagem de seus objetos, animais e
etc., ao levar seu rebanho para a pastagem ele relacionava uma pedra a cada
animal, no momento em que ele recolhia os animais fazia a relação inversa, no
caso de sobrar alguma pedra poderia verificar a falta de algum animal.
Mas o homem buscava algo mais concreto, que representasse de uma forma mais
simples tais situações. O surgimento dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4...)
revolucionou o método de contagem, pois relacionava símbolos (números) a determinadas
quantidades.
Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a
circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações
envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais
situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um
comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele
vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele
comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.
Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas
operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos
e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z
(significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos
(Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte
forma: Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}
Como
surgiu os números racionais
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do
Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a
sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras
levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que
marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que
seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a
medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes
nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo
tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.
Quando dividimos um número inteiro (a) por
outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é
representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q
deriva da palavra inglesa quotient, que
significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números
inteiros.
Os números
Irracionais
Hoje em dia,
pensamos: “Nossa, mas encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usarmos a
calculadora”. Entretanto, na época em que começaram estes estudos, o único
mecanismo para encontrar os valores das raízes quadradas envolvia os números
quadrados (√2²,√3²,√4², …).
Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos se depararam
com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência; e com
cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse a
circunferência, número este que outrora foi denominado de número pi (π).
Esse número
é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.
Esse é um dos números que foi citado no início do texto: a constante π é de
fundamental importância para a área de geometria e trigonometria.
Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte
decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de
fração, assim como ocorre em frações periódicas.
Constantes
irracionais ou números transcendentais:
Números
irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:
Estes são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca
saberemos.
Com isso,
podemos falar que números irracionais são aqueles que em sua forma decimal são
números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles
números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um
período de repetição.
História
dos Números Reais: Como e por que foi criado
- A origem histórica dos números racionais está
intimamente ligada com fatos de natureza geométrica. Estes números são
construídos a partir da necessidade de medir e de relacionar medidas.
O conjunto dos números racionais constitui um sistema de numeração, no qual as
operações de adição e multiplicação, assim como suas inversas, subtração e
divisão, estão bem definidas e possuem as mais importantes propriedades. No
entanto, a extensão deste sistema é necessária, com o objetivo de obter um
quadro claro da relação entre números e pontos de uma reta, desenvolvendo a
noção de "completude", propriedade que o sistema dos racionais não
tem. Construir a reta numerada completa implica construir um novo sistema numérico
que inclui os racionais, como subsistema. O sistema inclui todas as razões
entre quantidades geométricas - todos os valores que resultam de medidas - e
muitos desses valores não são números racionais. À união dos números racionais
com os irracionais, denominamos Conjunto dos Números Reais.
